中項 medietas について述べる．
比 proportio とは二つの項の互いに対するある種の対比である．
数の実体を項と呼ぶ．
比例 proportionalitas とは等しい比の集まりである． 比例は最小でも３つの項からなる． 第二項に対する第一項が，第三項に対する第二項と同じ比を持つとき，比例とよばれ，第二項が三つの項の中項である．
つまり最小の比例は三つの項からなる $a:b:c$ で $a:b=b:c$ であるもの． これが本来の比例だが，これ以外のものも比例と呼ぶことがある．
$1,2,3$ のように隣り合う二項の差が一定の比例を〈算術比例〉と呼ぶ．その中項を〈算術中項〉という． このとき隣り合う二項の比は一定ではない．
$1,2,4$ のように隣り合う二項の比が一定の比例を〈幾何比例〉と呼ぶ．その中項を〈幾何中項〉という． これが本来の比例である．隣り合う二項の差は一定ではない．
$3,4,6$ のように，第一，二項の差と第二，三項の差の比が，第一，三項の比に等しい比例を〈調和比例〉と呼ぶ．その中項を〈調和中項〉という． つまり $(4-3):(6-4)=3:6$ ということ．
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$a:x:b$ という比例において，それぞれの種類の中項 $x$ は次のように与えられる．
| 〈算術中項〉 | $\displaystyle a:\frac{a+b}2:b$ |
| 〈幾何中項〉 | $\displaystyle a:\sqrt{ab}:b$ |
| 〈調和中項〉 | $\displaystyle a:\frac{2ab}{a+b}:b$ |
〈算術中項〉は $b-x=x-a$ を解けば $x=\displaystyle\frac{a+b}2$ として得られる.
〈幾何中項〉は $a:x=x:b$ より $x^2=ab$ なので $x=\sqrt{ab}$.
〈調和中項〉は $x-a:b-x=a:b$ より $a(b-x)=(x-a)b$. これを解いて $x=\displaystyle\frac{2ab}{a+b} $.
〈調和中項〉は $a$, $b$ の逆数の平均の逆数としても求められる． \[ \frac1x = \frac12\left(\frac1a+\frac1b\right) \]
比例には，連続する比例と隔てられた比例がある．
前章のようなものが連続する比例である．一つの中項がより大きな数の下におかれ，またより小さな数の上におかれる．(前のものとの関係と後続するものとの関係が等しい．)
中項が二つの次のような比例は分離された比例と言われる：$1,2,3,6$. この例では $1:2=3:6$ が成り立っている．
連続する比例は最小3項が可能だが，分離した比例は最低4項必要である．
4項以上の連続する比例はありうる．例えば $1,2,4,8,16$.
ある中項が〈算術中項〉と呼ばれるのは，続く項の間の差が均等であるからである． 〈幾何中項〉と言われるのは，比の性質が同様であるからである． 〈調和中項〉と呼ばれるのは，差の間の比と(両端の)項の間の比が等しいように，結合されているからである．
数において〈単位一〉が優位に立つのと同じく，比例において均等性が優位に立つ． 数の源が〈単位一〉であるように，比例の始まりは均等性である．
〈算術中項〉の生成の仕方．均等な三項 ($a_1=a_2=a_3$) が与えられたとする．
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〈幾何中項〉の生成の仕方は第7章で説明された．
〈調和中項〉の生成の仕方．均等な三項 ($a_1=a_2=a_3$) が与えられたとする． 〈二倍比〉を形成したければ次の通り．
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〈三倍比〉を形成したければ次の通り．
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※この章の比例の構成は ad hoc に見え，あまり説得力があるようには思えません．
$3,4,6$ の〈調和比例〉では $3:4$ が4度，$4:6$ が5度，$3:6$ がオクターブであり，全体として 4度＋5度＝オクターヴ をなす．
$3,4,6$ のそれぞれに $3,4,6$ をかけると，$9,12,16,18,24,36$ が得られ，これは全体で2オクターヴの配置をなす．
この配置には，4度 $12:9$, $16:12$, $24:18$, 5度 $18:12$, $24:16$, $36:24$, オクターヴ $18:9$, $36:18$ オクターヴ＋5度 $36:12$, 2オクターヴ $36:9$, 全音 $18:16$ が含まれる．
$10$ と $40$ の間の〈算術中項〉は $25$ で， $40-10$ の半分の $15$ を $10$ に足すと得られる： $10,25,40$.
つまり $a,b$ の〈算術中項〉は $\displaystyle \frac{b-a}2+a = \frac{a+b}2$.
$10$ と $40$ の間の〈幾何中項〉は $40\times 10=400$ が平方となる $20$ である： $10,20,40$.
つまり $a,b$ の〈幾何中項〉は $\sqrt{ab}$.
$10$ と $40$ の間の〈調和中項〉は, まず $10$ と $40$ を足して $50$. $40$ から $10$ を引いて $30$． これに $10$ をかけて $300$. これを $50$ でわると $6$. 最後に $6$ に $10$ を足した $16$ が $10$ と $40$ の間の〈調和中項〉である： $10,16,40$.
つまり $a,b$ の〈調和中項〉は $\displaystyle\frac{a(b-a)}{a+b}+a =\frac{2ab}{a+b}$.
より明瞭に感覚がその特性を理解する協和が，第一かつもっとも快い協和に据えられるべきである． 二倍にある協和が他のなにより馴染みがあるのなら，オクターヴの協和がすべての中で第一であり，また価値という点で優っている．なぜなら，それは認識によって先んじているのだから．
ピュタゴラス派の人々にしたがえば，残りのものは必然的に倍数の増大と〈単部分超過比〉の状態の減少が与える序列を持つ．
$1,2,3,4$ の組み合わせから得られるのは，$2:1=4:2$ (オクターブ), $3:1$ (オクターヴ＋5度), $4:1$ (2オクターヴ), $3:2$(5度), $4:3$(4度).
ニコマコスによる協和の序列は以下のようである．
| 1. | 〈二倍比〉 | オクターヴ |
| 2. | 〈三倍比〉 | オクターヴ＋5度 |
| 3. | 〈四倍比〉 | 2オクターヴ |
| 4. | 〈$2$ の単部分超過比〉 | 5度 |
| 5. | 〈$3$ の単部分超過比〉 | 4度 |
エウクレイデスとヒッパソスは協和の別の序列を置く． 彼らは，確固とした序列によって〈多倍比〉の増大が単部分超過比の減少に対応することを主張する．
二倍に対し 1/2 が，三倍に対し 1/3 が対応する．
二倍があればオクターヴの協和が生じ，1/2 があればそれからいわば逆の分割の〈$2$ の単部分超過比〉すなわち5度がもたらされる． これらが組み合わされると，すなわちオクターヴ＋５度は三倍を引き起こし，これは両方の協和を含む． 三倍に対する 1/3 から逆の分割の〈$3$ の単部分超過比〉すなわち４度が生じる． 三倍と〈$3$ の単部分超過比〉が組み合わされると，四倍を生じる． したがってオクターヴ＋５度と４度が結合されると〈四倍比〉の２オクターヴとなる．
以上より，次のような序列となる：オクターヴ，5度，オクターヴ＋5度，4度，2オクターヴ．
※なぜ 1/2, 1/3 に対応する「逆の分割」がそれぞれ〈$2$ の単部分超過比〉〈$3$ の単部分超過比〉なのか，原文からは判然としませんが，次のことを表しているのかもしれません． \[ 3:2 = \left(1+\frac12\right) :1,\qquad 4:3 =\left(1+\frac13\right):1 \]
しかしニコマコスは，逆のものの対置が協和の序列と同じとは考えていない． 〈単位一〉が算術における増加と減少の源であったように，オクターヴが残りのものたちの協和の源であり，残りのものたちは反対の分割において構成されうると考えている．
数の場合，まず〈単位一〉が置かれ，増大の方向と分割の方向の二つの方向に広がる．
| 1 | ||||||||
| 1/2 | 2 | |||||||
| 1/3 | 3 | |||||||
| 1/4 | 4 | |||||||
| 1/5 | 5 |
同じことを協和にあてはめると，最上の源の位置にオクターヴを置き，残りのものは反対の分割において次のようになる：三倍に対して〈$2$ の単部分超過比〉，四倍に対して〈$3$ の単部分超過比〉．
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※協和における「反対の分割」が意味するものは原文からは判然としませんが，次のようなことを言っているのかもしれません．
| $2:1$ |
| $2:1$ | ||||
| $3:1$ |
| $3:2$ | ||||
| $4:1$ |
| $4:3$ |
ニコマコスの述べるところは上の図式のようにオクターヴが諸協和の源であるが，それでも〈多倍比〉の方が優れたものであり，〈単部分超過比〉はそれに続く． (したがって第18章の序列となる．)